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目前國內有關數字信號處理的教材在講解快速傅里葉變換(FFT)時，都是以復數FFT為重點，實數FFT算法都是一筆帶過，書中給出的具體實現程序多為BASIC或FORTRAN程序并且多數不能真正運行。鑒于目前在許多嵌入式系統中要用到FFT運算，如以DSP為核心的交流采樣系統、頻譜分析、相關分析等。本人結合自己的實際開發經驗，研究了實數的FFT算法并給出具體的C語言函數，讀者可以直接應用于自己的系統中。
首先分析實數FFT算法的推導過程，然后給出一種具體實現FFT算法的C語言程序，可以直接應用于需要FFT運算的單片機或DSP等嵌入式系統中。
1 倒位序算法分析
按時間抽取(DIT)的FFT算法通常將原始數據倒位序存儲，最后按正常順序輸出結果X(0)，X(1)，...，X(k)，...。假設一開始，數據在數組 float dataR[128]中，我們將下標i表示為(b6b5b4b3b2b1b0)b，倒位序存放就是將原來第i個位置的元素存放到第(b0b1b2b3b4b5b6)b的位置上去.由于C語言的位操作能力很強，可以分別提取出b6、b5、b4、b3、b2、b1、b0，再重新組合成b0、b1、b2、b3、b4、b5、b6，即是倒位序的位置。程序段如下(假設128點FFT)：
/* i為原始存放位置，最后得invert_pos為倒位序存放位置 */
int b0=b1=b2=b3=b4=b5=6=0;
b0=i&0x01; b1=(i/2)&0x01; b2=(i/4)&0x01;
b3=(i/8)&0x01; b4=(i/16)&0x01; b5=(i/32)&0x01;
b6=(i/64)&0x01; /*以上語句提取各比特的0、1值*/
invert_pos=x0*64+x1*32+x2*16+x3*8+x4*4+x5*2+x6;
大家可以對比教科書上的倒位序程序，會發現這種算法充分利用了C語言的位操作能力，非常容易理解而且位操作的速度很快。
2 實數蝶形運算算法的推導
我們首先看一下圖1所示的蝶形圖。
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蝶形公式：
X(K) = X’(K) + X’(K+B)W PN ,
X(K+B) = X’(K) - X’(K+B) W PN
其中W PN= cos(2πP/N)- jsin(2πP/N)。
設 X(K+B) = XR(K+B) + jXI(K+B),
X(K) = XR(K) + jXI(K) ,
有:
XR(K)+jXI(K)= XR’(K)+jXI’(K)+[ XR’(K+B) + jXI’(K+B)]*[ cos(2πP/N)-jsin(2πP/N)];
繼續分解得到下列兩式:
XR(K)= XR’(K)+ XR’(K+B) cos(2πP/N)+ XI’(K+B) sin (2πP/N) (1)
XI(K)= XI’(K)-XR’(K+B) sin(2πP/N)+XI’(K+B)cos (2πP/N) (2)
需要注意的是: XR(K)、XR’(K)的存儲位置相同,所以經過(1)、(2)后，該位置上的值已經改變，而下面求X(K+B)要用到X’(K)，因此在編程時要注意保存XR’(K)和XI’(K)到TR和TI兩個臨時變量中。
同理: XR(K+B)+jXI(K+B)= XR’(K)+jXI’(K)- [ XR’(K+B)+jXI’(K+B)] *[ cos(2πP/N)-jsin(2πP/N)]繼續分解得到下列兩式:
XR(K+B)= XR’(K)-XR’(K+B) cos(2πP/N)- XI’(K+B) sin (2πP/N) (3)
XI(K+B)= XI’(K)+ XR’(K+B) sin(2πP/N)- XI’(K+B) cos (2πP/N) (4)
注意：
① 在編程時, 式(3)、(4)中的XR’(K)和 XI’(K)分別用TR和TI代替。
② 經過式(3)后， XR(K+B)的值已變化，而式(4)中要用到該位置上的上一級值，所以在執行式(3)前要先將上一級的值XR’(K+B)保存。
③ 在編程時, XR(K)和 XR’(K), XI(K)和 XI’(K)使用同一個變量。
通過以上分析，我們只要將式(1)、(2)、(3)、(4)轉換成C語言語句即可。要注意變量的中間保存，詳見以下程序段。
/* 蝶形運算程序段 ,dataR[]存放實數部分,dataI[]存放虛部*/
/* cos、sin函數做成表格，直接查表加快運算速度 */
TR=dataR[k]; TI=dataI[k]; temp=dataR[k+b];/*保存變量，供后面語句使用*/
dataR[k]=dataR[k]+dataR[k+b]*cos_tab[p]+dataI[k+b]*sin_tab[p];
dataI[k]=dataI[k]-dataR[k+b]*sin_tab[p]+dataI[k+b]*cos_tab[p];
dataR[k+b]=TR-dataR[k+b]*cos_tab[p]-dataI[k+b]*sin_tab[p];
dataI[k+b]=TI+temp*sin_tab[p]-dataI[k+b]*cos_tab[p];
3 DIT FFT 算法的基本思想分析
我們知道N點FFT運算可以分成LOGN2 級，每一級都有N/2個碟形。DIT FFT的基本思想是用3層循環完成全部運算(N點FFT)。
第一層循環：由于N=2m需要m級計算,第一層循環對運算的級數進行控制。
第二層循環：由于第L級有2L-1個蝶形因子(乘數)，第二層循環根據乘數進行控制，保證對于每一個蝶形因子第三層循環要執行一次，這樣，第三層循環在第二層循環控制下，每一級要進行2L-1次循環計算。
第三層循環：由于第L級共有N/2L個群，并且同一級內不同群的乘數分布相同，當第二層循環確定某一乘數后，第三層循環要將本級中每個群中具有這一乘數的蝶形計算一次，即第三層循環每執行完一次要進行N/2L個碟形計算。
可以得出結論：在每一級中，第三層循環完成N/2L個碟形計算;第二層循環使第三層循環進行 2L-1次，因此，第二層循環完成時，共進行2L-1 *N/2L=N/2個碟形計算。實質是：第二、第三層循環完成了第L級的計算。
幾個要注意的數據：
① 在第L級中，每個碟形的兩個輸入端相距b=2L-1個點。
② 同一乘數對應著相鄰間隔為2L個點的N/2L個碟形。
③ 第L級的2L-1個碟形因子WPN 中的P，可表示為p = j*2m-L，其中j = 0，1，2，...，(2L-1-1)。
以上對嵌入式系統中的FFT算法進行了分析與研究。讀者可以將其算法直接應用到自己的系統中，歡迎來信共同討論。(Email:xiaowanang@163.net)
附128點DIT FFT函數：
/* 采樣來的數據放在dataR[ ]數組中，運算前dataI[ ]數組初始化為0 */
void FFT(float dataR[],float dataI[])
{int x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6;
int L,j,k,b,p;
float TR,TI,temp;
/********** following code invert sequence ************/
for(i=0;i<128;i++)
{ x0=x1=x2=x3=x4=x5=x6=0;
x0=i&0x01; x1=(i/2)&0x01; x2=(i/4)&0x01; x3=(i/8)&0x01;x4=(i/16)&0x01; x5=(i/32)&0x01; x6=(i/64)&0x01;
xx=x0*64+x1*32+x2*16+x3*8+x4*4+x5*2+x6;
dataI[xx]=dataR[i];
}
for(i=0;i<128;i++)
{ dataR[i]=dataI[i]; dataI[i]=0; }
/************** following code FFT *******************/
for(L=1;L<=7;L++) { /* for(1) */
b=1; i=L-1;
while(i>0)
{b=b*2; i--;} /* b= 2^(L-1) */
for(j=0;j<=b-1;j++) /* for (2) */
{ p=1; i=7-L;
while(i>0) /* p=pow(2,7-L)*j; */
{p=p*2; i--;}
p=p*j;
for(k=j;k<128;k=k+2*b) /* for (3) */
{ TR=dataR[k]; TI=dataI[k]; temp=dataR[k+b];
dataR[k]=dataR[k]+dataR[k+b]*cos_tab[p]+dataI[k+b]*sin_tab[p];
dataI[k]=dataI[k]-dataR[k+b]*sin_tab[p]+dataI[k+b]*cos_tab[p];
dataR[k+b]=TR-dataR[k+b]*cos_tab[p]-dataI[k+b]*sin_tab[p];
dataI[k+b]=TI+temp*sin_tab[p]-dataI[k+b]*cos_tab[p];
} /* END for (3) */
} /* END for (2) */
} /* END for (1) */
for(i=0;i<32;i++){ /* 只需要32次以下的諧波進行分析 */
w[i]=sqrt(dataR[i]*dataR[i]+dataI[i]*dataI[i]);
w[i]=w[i]/64;}
w[0]=w[0]/2;
} /* END FFT */
工商網監
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