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　　目前國內有關數字信號處理的教材在講解快速傅里葉變換(FFT)時，都是以復數FFT為重點，實數FFT算法都是一筆帶過，書中給出的具體實現程序多為BASIC或FORTRAN程序并且多數不能真正運行。鑒于目前在許多嵌入式系統中要用到FFT運算，如以DSP為核心的交流采樣系統、頻譜分析、相關分析等。本人結合自己的實際開發經驗，研究了實數的FFT算法并給出具體的C語言函數，讀者可以直接應用于自己的系統中。

　　首先分析實數FFT算法的推導過程，然后給出一種具體實現FFT算法的C語言程序，可以直接應用于需要FFT運算的單片機或DSP等嵌入式系統中。

　　1 倒位序算法分析

　　按時間抽取(DIT)的FFT算法通常將原始數據倒位序存儲，最后按正常順序輸出結果X(0)，X(1)，...，X(k)，...。假設一開始，數據在數組 float dataR[128]中，我們將下標i表示為(b6b5b4b3b2b1b0)b，倒位序存放就是將原來第i個位置的元素存放到第(b0b1b2b3b4b5b6)b的位置上去.由于C語言的位操作能力很強，可以分別提取出b6、b5、b4、b3、b2、b1、b0，再重新組合成b0、b1、b2、b3、b4、b5、b6，即是倒位序的位置。程序段如下(假設128點FFT)：

　　/* i為原始存放位置，最后得invert_pos為倒位序存放位置 */

　　int b0=b1=b2=b3=b4=b5=6=0;

　　b0=i&0x01; b1=(i/2)&0x01; b2=(i/4)&0x01;

　　b3=(i/8)&0x01; b4=(i/16)&0x01; b5=(i/32)&0x01;

　　b6=(i/64)&0x01; /*以上語句提取各比特的0、1值*/

　　invert_pos=x0*64+x1*32+x2*16+x3*8+x4*4+x5*2+x6;

　　大家可以對比教科書上的倒位序程序，會發現這種算法充分利用了C語言的位操作能力，非常容易理解而且位操作的速度很快。

　　2 實數蝶形運算算法的推導

　　我們首先看一下圖1所示的蝶形圖。

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　　蝶形公式：

　　X(K) = X’(K) + X’(K+B)W PN ,

　　X(K+B) = X’(K) - X’(K+B) W PN

　　其中W PN= cos(2πP/N)- jsin(2πP/N)。

　　設 X(K+B) = XR(K+B) + jXI(K+B),

　　X(K) = XR(K) + jXI(K) ,

　　有:

　　XR(K)+jXI(K)= XR’(K)+jXI’(K)+[ XR’(K+B) + jXI’(K+B)]*[ cos(2πP/N)-jsin(2πP/N)];

　　繼續分解得到下列兩式:

　　XR(K)= XR’(K)+ XR’(K+B) cos(2πP/N)+ XI’(K+B) sin (2πP/N) (1)

　　XI(K)= XI’(K)-XR’(K+B) sin(2πP/N)+XI’(K+B)cos (2πP/N) (2)

　　需要注意的是: XR(K)、XR’(K)的存儲位置相同,所以經過(1)、(2)后，該位置上的值已經改變，而下面求X(K+B)要用到X’(K)，因此在編程時要注意保存XR’(K)和XI’(K)到TR和TI兩個臨時變量中。

　　同理: XR(K+B)+jXI(K+B)= XR’(K)+jXI’(K)- [ XR’(K+B)+jXI’(K+B)] *[ cos(2πP/N)-jsin(2πP/N)]繼續分解得到下列兩式:

　　XR(K+B)= XR’(K)-XR’(K+B) cos(2πP/N)- XI’(K+B) sin (2πP/N) (3)

　　XI(K+B)= XI’(K)+ XR’(K+B) sin(2πP/N)- XI’(K+B) cos (2πP/N) (4)

　　注意：

　　① 在編程時, 式(3)、(4)中的XR’(K)和 XI’(K)分別用TR和TI代替。

　　② 經過式(3)后， XR(K+B)的值已變化，而式(4)中要用到該位置上的上一級值，所以在執行式(3)前要先將上一級的值XR’(K+B)保存。

　　③ 在編程時, XR(K)和 XR’(K), XI(K)和 XI’(K)使用同一個變量。

　　通過以上分析，我們只要將式(1)、(2)、(3)、(4)轉換成C語言語句即可。要注意變量的中間保存，詳見以下程序段。

　　/* 蝶形運算程序段 ,dataR[]存放實數部分,dataI[]存放虛部*/

　　/* cos、sin函數做成表格，直接查表加快運算速度 */

　　TR=dataR[k]; TI=dataI[k]; temp=dataR[k+b];/*保存變量，供后面語句使用*/

　　dataR[k]=dataR[k]+dataR[k+b]*cos_tab[p]+dataI[k+b]*sin_tab[p];

　　dataI[k]=dataI[k]-dataR[k+b]*sin_tab[p]+dataI[k+b]*cos_tab[p];

　　dataR[k+b]=TR-dataR[k+b]*cos_tab[p]-dataI[k+b]*sin_tab[p];

　　dataI[k+b]=TI+temp*sin_tab[p]-dataI[k+b]*cos_tab[p];