一.項目背景

本項目在之前項目分類模型基礎上神經網絡應用（一）進一步拓展神經網絡應用，相比之前本項目增加了新的知識點，比如正則化，softmax函數和交叉熵損失函數等。

二.前期準備

复制1.正則化
    1）解釋：在機器學習中為了防止模型過擬合（簡單說就是在訓練集上樣本表現的
很好，在測試集上表現的很差），經常需要進行正則化，所謂正則化簡單來說就是讓模
型系數變得相對小一點，防止數據稍微變化引起模型圖形曲線較大波動，總之一句話，
讓模型曲線表現更加平穩。
    2）分類：正則化總體分類為L1正則化和L2正則化。兩者區別在于范數級別不同，
L2正則化是||w||2，L1正則化是||w||1范數，并且L2正則傾向于系數W盡量均衡（非
零分量個數盡量多），L1正則化使W分類盡量稀疏（非零分量個數盡量少），我們以線
性回歸為例，簡單說明一下。

【注】正則項不包括截距項。

复制2.Softmax函數
   1）Softmax經常被應用在多分類任務的神經網絡中的輸出層，簡單理解可以認為
Softmax輸出的是幾個類別選擇的概率。比如我有一個二分類任務，Softmax函數可以
根據它們相對的大小，輸出二個類別選取的概率，并且概率和為1。表達式如下，Si代
表的是第i個神經元的輸出。

softmax函數

复制3.交叉熵損失函數
   在神經網絡反向傳播中需要損失函數，損失函數其實表示的是真實值與網絡的估計
值的誤差，有了這個誤差我們才能知道怎樣去修改網絡中的權重。損失函數可以有很多
形式，這里用的是交叉熵函數，主要是由于這個求導結果比較簡單，易于計算，并且交
叉熵解決某些損失函數學習緩慢的問題，函數表達式如下

复制它的導數推到過程我們就不再說明，網上有很多資料大家可以參考，針對本項目分類
模型，我們最終結果為如下，也就是我們的預測概率值減去目標值。

三.實現過程

复制1.生成數據

#生成數據
def generate_data():
    #設定種子數，保定生成數據相同
    np.random.seed(0)
    #生成數據集和標簽，noise表示產生噪音
    X, y = datasets.make_moons(200, noise=0.20)
    #返回數據集
    return X, y

复制2.構建模型

#計算損失函數
def calculate_loss(model, X, y):
    #訓練樣本個數
    num_examples = len(X)  # training set size
    #加載模型參數
    W1, b1, W2, b2 = model['W1'], model['b1'], model['W2'], model['b2']
    #前向傳播
    z1 = X.dot(W1) + b1
    a1 = np.tanh(z1)
    z2 = a1.dot(W2) + b2
    exp_scores = np.exp(z2)
    #softmax函數歸一化
    probs = exp_scores / np.sum(exp_scores, axis=1, keepdims=True)
    #定義交叉熵損失函數
    corect_logprobs = -np.log(probs[range(num_examples), y])
    #計算總的損失函數
    data_loss = np.sum(corect_logprobs)
    #L2正則化，防止過擬合
    data_loss += Config.reg_lambda / 2 * (np.sum(np.square(W1)) + np.sum(np.square(W2)))
    #除以樣本總數
    return 1. / num_examples * data_loss
 
#構建模型
def build_model(X, y, nn_hdim, num_passes=20000, print_loss=False):
    #樣本個數
    num_examples = len(X)
    #記錄隨機中子數
    np.random.seed(0)
    #初始化神經網絡參數
    W1 = np.random.randn(Config.nn_input_dim, nn_hdim) / np.sqrt(Config.nn_input_dim)
    b1 = np.zeros((1, nn_hdim))
    W2 = np.random.randn(nn_hdim, Config.nn_output_dim) / np.sqrt(nn_hdim)
    b2 = np.zeros((1, Config.nn_output_dim))

    #存儲模型參數
    model = {}
    #遍歷每一輪
    for i in range(0, num_passes):
        #前向傳播
        z1 = X.dot(W1) + b1
        #函數表達式(e(z)-e(-z))/(e(z)+e(-z))
        #隱藏層輸出
        a1 = np.tanh(z1)
        z2 = a1.dot(W2) + b2
        #輸出層輸出
        exp_scores = np.exp(z2)
        #計算概率
        probs = exp_scores / np.sum(exp_scores, axis=1, keepdims=True)
        #反向傳播
        delta3 = probs
        #計算損失函數導數
        delta3[range(num_examples), y] -= 1
        #計算w2梯度
        dW2 = (a1.T).dot(delta3)
        #計算b2梯度
        db2 = np.sum(delta3, axis=0, keepdims=True)
        #計算輸入層到隱藏層總誤差
        delta2 = delta3.dot(W2.T) * (1 - np.power(a1, 2))
        #計算w1梯度
        dW1 = np.dot(X.T, delta2)
        #計算b1梯度
        db1 = np.sum(delta2, axis=0)

        #正則化系數w（只對w進行正則化，b不改變）
        dW2 += Config.reg_lambda * W2
        dW1 += Config.reg_lambda * W1

        #更新參數
        W1 += -Config.epsilon * dW1
        b1 += -Config.epsilon * db1
        W2 += -Config.epsilon * dW2
        b2 += -Config.epsilon * db2

        #存儲模型參數
        model = {'W1': W1, 'b1': b1, 'W2': W2, 'b2': b2}

        #輸出損失函數
        if print_loss and i % 1000 == 0:
            print("Loss after iteration %i: %f" % (i, calculate_loss(model, X, y)))
    
    #返回模型參數
    return model

复制3.預測樣本
#預測樣本
def predict(model, x):
    #加載模型參數
    W1, b1, W2, b2 = model['W1'], model['b1'], model['W2'], model['b2']
    #前向傳播
    z1 = x.dot(W1) + b1
    a1 = np.tanh(z1)
    z2 = a1.dot(W2) + b2
    #計算總體輸出
    exp_scores = np.exp(z2)
    #softmax函數
    probs = exp_scores / np.sum(exp_scores, axis=1, keepdims=True)
    #返回預測概率最大值對應標簽
    return np.argmax(probs, axis=1)

复制4.繪制圖形可視化

#繪制邊界線
def plot_decision_boundary(pred_func, X, y):
    #分別設置間隔
    x_min, x_max = X[:, 0].min() - 0.5, X[:, 0].max() + 0.5
    y_min, y_max = X[:, 1].min() - 0.5, X[:, 1].max() + 0.5
    #步長
    h = 0.01
    #生成網格數據
    xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h), np.arange(y_min, y_max, h))
    #預測整個網格z值
    Z = pred_func(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
    
    Z = Z.reshape(xx.shape)
    #繪制分割線
    plt.contourf(xx,
                 yy,
                 Z,
                 cmap=plt.cm.Spectral)
    #繪制散點圖
    plt.scatter(X[:, 0], 
                X[:, 1],
                c=y, 
                cmap=plt.cm.Spectral)
    #顯示圖形
    plt.show()

#可視化函數
def visualize(X, y, model):
    #繪制圖形
    plot_decision_boundary(lambda x:predict(model,x), X, y)
    #設置標題
    plt.title("Neural Network")

#主函數
def main():
    #生成數據
    X, y = generate_data()
    #構建模型
    model = build_model(X, y, 3, print_loss=True)
    #可視化
    visualize(X, y, model)
    #預測準確樣本數
    accuracy=0
    #設定種子數，保定生成數據相同
    np.random.seed(1)
    #生成數據集和標簽，noise表示產生噪音
    X_test, y = datasets.make_moons(200, noise=0.20)
    #驗證測試集
    for i in range(len(X_test)):
        #預測測試集
        if y[i]==predict(model,X_test[i]):
            #預測準確數目
            accuracy+=1
    #輸出準確率
    print("Accuracy:",float(accuracy)/len(X_test))
 
 結論：準確率為96%（這里測試集數據我們添加了噪音），如果在產生測試集數據時取掉
 noise參數（也就是說取掉噪音數據），準確率會更高。